Dragutin je rođen 8. svibnja 1895. u Stenjevcu kraj Zagreba u bogobojaznoj radničkoj obitelji s osmero djece, od kojih su tri sina postali svećenici.
Dragutin je osnovnu školu pohađao u Vrapču, a gimnaziju u Zagrebu. Kao mlada klerika Nadbiskupija ga je poslala (1913.) na studije teologije u Ameriku, St. Francis, Wisconsin. U tom mjestu je bio i zaređen za svećenika 1918., potom upućen na hrvatsku župu u Milwaukee, Wisonsin, a pri kraju iste godine poslali su ga na hrvatsku katoličku župu u Gary, Indiana.
Otac Dragutin se pokazao vrlo uspješnim i omiljenim svećenikom, i k tome odličnim organizatorom raznih djelatnosti u hrvatskoj zajednici u tom gradu. Uspio je obnoviti unutrašnjost crkve, izgraditi župnu školu i kuću za časne sestre koje su bile učiteljice. Povrh toga, uspio je sa župljanima isplatiti župni zajam koji je bilo potrebno podići radi spomenutih radova. Uz pastoralni rad, utemeljio je list Glas istine, kojem je bio i urednik. S još nekoliko hrvatskih svećenika i svojih vjernih župljana, udario je čvrste temelje Hrvatskoj katoličkoj zajednici te joj bio duhovni vođa i urednik službenog glasila Vjesnik HKZ-e.
Početkom 1922. godine velečasni Dragutin je ponovo otišao u župu u Milwaukee, Wisconsin. On je i u toj župi nastavio neumorno raditi. Osim što je služio narodu u njegovim duhovnim potrebama, u župi je utmeljio nekoliko društava, sagradio župnu školu i dvoranu, poboljšao kuću za učiteljice, kupio pet kuća u susjedstvu za buduće župne potrebe i isplatio sve dugove kojima je župa bila opterećena. K tome, on je utemeljio (1928.) novu hrvatsku župu u gradiću West Allis nedaleko od Milwaukea i jedno vrijeme služio obje župe. Uz pastoralni rad i župne obaveze, bio je urednik tiskovine Naša nada, službenog glasila HKZ-e, priredio je Naša Nada Almanak za 1927. i 1928. godinu te pokrenuo i uređivao list Američki Hrvat.
Godine 1930. velečasni Jesih se vratio u Hrvatsku i potom služio u nekoliko župa Zagrebačke nadbiskupije (Požeški Brestovac, Ruševo, Gradec, Sladojevci, Šćitarjevo). U svakoj od njih pokazao se uzornim svećenikom, uvijek nesebičan i zanosan u duhovnom i karitativnom radu. Bio je također djelatan u tadašnjem pokretu “Katolička akcija”.
Godine 1942. poslan je na službu u župi Šćitarevo, blizu Zagreba. Zbog otvorenih anti-nacističkih uvjerenja i slobodarskih stavova došao je na udar njemačkog i NDH režima. Jednoć su ga orobili Čerkezi, koji su bili dio njemačkih snaga, i odveli u Sisak. Krajem 1944. ponovo je bio orobljen i pritvoren u Zagrebu. Nakon tri tjedna bio je pušten iz zatvora, ali navečer onog dana kad se vratio (27. studenog 1944.) otišao je iz župne kuće. Navodno su mu “prijatelji”, simpatizeri “osloboditelja”, predložili da se skloni u Zagreb. Nakon nekoliko dana njegovo izbodeno mrtvo tijelo pronađeno je u Savi nekoliko kilometra dalje od sela. Sumnja se da su ga “osloboditelji” ubili da bi iskoristili reakciju naroda. Pokopan je na groblju u Šćitarevu 10. prosinca 1944.
Velečasni Dragutin Jesih je uvršten (1992.) u Pravednike među narodima jer je u suradnji s nadbiskupom Stepincem pomagao u spašavanju Židova tijekom Drugog svjetskog rata.
